Pitagora
Pitagora (greqisht: Πυθαγόρας) lindi afërsisht në vitin 592 p.e.s. dhe vdiq 486 p.e.s., ishte matematikan dhe filozof grek. Pitagora është shumë i njohur me teoremëm e tij në matematikë, e cila njihet si “Teorema e Pitagorës” e cila shprehet me barazimin është mjaft e thjeshtë por për nga rëndësia është e jashtzakonshme dhe mësohet që në shkollën fillore
Pitagora u lind në ishullin grek Samos, midis 592 dhe 572 para erës sonë. Që i vogël shfaqi shumë dhunti të veçanta që më vonë do të krijojnë një legjendë, që e do të jetë i biri i Apollonit. Por edhe vetë emri i tij do të thotë ‘’ ai që u deklarua nga Pitia (profetja)’’.Në moshë të re merr pjesë në Lojrat Olimpike ku dhe bëhet kampion në mundjen e lirë. Më pas do të udhëtojë në Egjipt ku dhe do të initacionohet në misteret eMemfidës dhe Heliupolit. Në vazhdim do të shkojë në Finike dhe në Halde ku dhe do të mësojë astronominë dhe gjeometrinë. Gjithashtu duket se erdhi në kontakt edhe me driidët e Galatisë. Rikthehet në Samo dhe themelon shkollën e tij duke arritur të mbledhë mbi 3.000 nxënës. Madhështia e tij do të provokojë reagimet e pushtetarëve të Samosit dhe kështu do të detyrohet të largohet nga ishulli, ku pas një udhëtimi të gjatë do të arrijë në Krotone ku dhe do të themelojë shkollën e tij të famshme rreth vitit 520 para erës sonë. Në të gjithë jetën e tij mundua të jetë një shembull për njerëzit e tjerë, diçka që përbën bazën e mënyrës së doktrinës së tij.
Matematika është pika ku takohen dhe harmonizohen feja, shkenca dhe arti. Për këtë doktrina e tij mund të jetë gjithësore dhe të përmbajë harmonikisht, konceptin fetar, kërkimet shkencore dhe eksperimentin. Dhe të gjitha këto janë të mbushura me një total rregullash etikë ku dhe ato kanë të bëjnë me celësa matematikë dhe numra.Simbolet matematike kanë një rëndësi të madhe në doktrinën Pitagoriene pasi nëpërmes tyre arrinin të konsolidonin në botën e shfaqur gjithcka që kishin arritur të përvetsonin. Domethënë mund të shkruanin , duke përdorur simbolet matematike, një gjendje psikologjike ose një shprehje bukurie. Si për shembull numrin Φ (Φ = 1.62…), që është shprehja e rregullit të bukurisë së Natyrës.Pitagora është themeluesi i shkencës muzikore, zbulues i simboleve që korrespondojnë me notat dhe simbolet muzikore. Pjesa matematike e kësaj shkence quhej ‘’Harmonikë’’. Pitagora është i pari që flet për sfericitetin e tokës dhe se toka është pjesë e një totali sferash me qendër të njëjtë ku distancat midis tyre rregulohen me hapësira muzikore. Është harmonia e sferave. Është i pari që përdori fjalën Filozofi.
Diofanti
Në matematikën e antikitetit grek një vend të veçantë zë vepra e Diofantit, që siç mendohet, duhet të ketë jetuar nga fundi I shekullit të dytë dhe fillimi I shekullit të tretë të erës sonë. Interesat e tij shkencore dalin jashte shtratit të traditës greke që kishte parapëlqim të posaçshëm për gjeometrinë. Diofanti është marrë me aritmetikën dhe me problem që mund të quhen algjebrike, ndonëse atëherë ende nuk ishte formar algjebra si degëzim I mirëfilltë I matematikës. Ai ka shkruar një punim të shkurtër për numrat poligonalë, një vepër për “Porizmat” (ky term përdorej për të treguar një kompleks pohimesh që kërkonin ose vërtetime ose ndërtime shumë të vështira) e cila ka humbur, por atë e bëri të famshëm “Aritmetika” në 13 libra, nga të cilët janë ruajtur gjashtë e një fragment I të shtatit. Nga shekulli I parë I erës sonë pat një ringjallje të interestit për trashegimin pitagorian, por me qëllim që mbi të të ngrinin spekulime aritmëtike të ngarkuara me kuptime mistike, që ishin larg frymës se kërkimit matematik. Këtij ndikimi të keq nuk I pat shpëtuar as vepra “Hyrje në aritmetikë” e një autori serioz si Nikomahu nga Herasi, (qe ka jetuar në kapërcyellin e shekujve të pare e të dytë), në të cilën përmblidheshin në trajtë sistematike tërë vetitë e numrave të zbuluara nga pitagorianët (Filolau, Arhiti, etj). Diofanti veçohet krejt prej kësaj rrjedhe. Ai u jep kërkimeve të veta drejtim tjetër duke I mbetur besnik rrugës që kishte çelur mendimi më I mirë matematik grek. Metoda e ndjekur prej tij është saktësisht shkencore: çështjet e shqyrtuara përvijohen qartë, zgjidhjet e gjetura diskutohen me rigorozitet. Diofanti I ka kushtuar vëmendje të posaçme ekuacioneve të pacaktuara ( që sot quhen diofantiane ) të cilave u kërkon zgjidhjet racionale positive. Zgjidhjet iracionale ai I quante “të pamundura” dhe bënte kujdes që t’I zgjidhte koeficientët në mënyr të tillë që ekuacionet ose sistemet e tyre të kishin rrënjë racionale pozitive. Diofanti ka gjetur zgjidhje racionale të rreth 130 ekuacioneve të pacaktuara, që u përkasin më shum se 50 klasave të ndryshme. Ndër to ndeshet edhe ekuacioni si x^2-26y^2=1 dhe x^2-30y^2=1 , që njihet tani me emrin “Ekuacione të Pelit”. Diofanti vetë nuk ka bërë ndonjë përpjekje për klasifikim e nuk jep metoda të përgjithshme për zgjidhjet. Por ndihet mënjëherë se ai zotërin një mjeshtëri të habitshme e teknikë mjaft të përpunuar, për të përballuar probleme jo pak të vështira për kohën. Për këtë e ka ndihmuar sajimi I një simbolike të përshtatshme. Diofanti është I pari që përdor sistematikisht simbolet algjebrike. Simbolika e tij bazohet kryesisht në shkurtimin e fjalëve. Ai përdorte shenja të posaçme për të panjohurën dhe për fuqi të saj, për minusin, për madhësinë inverse. Vepra e Diofantit të nxit të bësh disa pyetje të natyrshme. Problematika e saj mjaft origjinale e trajtuar me nivel të lartë e dallon tepër dukshëm prej pjesës tjetër të trashëgimisë se njohur greke. Ndërsa veprat e tjera madhore duken si kulme të natyrshme të një veprimtarie të gjatë lëvrimi sistematik të gjeometrisë, krijimtaria e Diofantit duket si një kulm “I papritur”, I shfaqur disi befas. Gjykimi I shëndoshë të shtyn të mendosh se ai vështirë të krijohej jashtë ekzistencës së një praktike të caktuar aritmetiko-algjebrike. Shumë studime pranojnë se nën shtresën e qytetërimit grek, vazhdonte të ruhej në vatrat e vjetra tradita e lashtë e Babilonisë. Madje ndonjë prej tyre e konsideron Diofantin si babilonas të helenizuar. Kjo mund të mos jetë e vërtetë, por është fakt që Diofanti në veprën e vet nuk e ndjen nevojën të nënvizojë origjinalitetin e madh të shtjellimit, sikur të kishte të bënte me forma të njohura nga lexuesit e vet. E kjo është një dëshmi në favor të hipotezës së parashtruar më sipër. Le të përmendim kalimthin edhe diçka tjetër. Ka qënë I përhapur mendimi se zhvillimin e algjebrës greke e ka frenuar në një farë mënyre sistemi alfabetik I numërimit meqenëse përdorimi I germave për numrat e përcaktuar pengonte që ato të përdoreshin për të shënuar numrat në përgjithësi, siç bëhet në algjebër. Ky është një shpjegim formalisht, sepse sikur autorët klasikë grekë të ishin interesuar vërtet për algjebrën, do ta kishin krijuar edhe simbolikën e përshtatshme, ashtu siç bëri Diofanti. Një pyetje tjetër që kërkon përgjigje është kjo: A mund të flitet për rënje e zvetënim të matematikës greke kur në kuadrin e saj krijohet një veper si kjo e Diofantit? Shkenca, pra edhe matematika, në çdo fragment kohor të zhvillimit të saj nuk ka një rjedhë drejtvizore pa kurrfar zikzakesh. Gjenialiteti i Diofanit është një arsye që mund të merej në konsiderat për të shpjeguar pse vepra e tij shpërtheu mbi mediokritetin matematik mbizotërues. Por ky shpërthim krijues nuk e cënon karakterizim e përgjithshëm të epokës. Ai u ndriçua si një dritë e mbrame mbi hapsirat e një mendimi matematik të shterpëzuar që as mund t’ia çmonte vlerën as kishte forc t’ia bënte të vetat e tija zhvillonte mëtej idet e risit e veprës së diofantit dhe çfar potencialiteti kishte kjo e fundit e tregoi përparimi I matematikës nga Rilindja e këtej. Duke filluar nga shekulli I 17-të e deri ne kohën tonë, shumë matematikan ndër më të shquarit (Fermai, Euleri, Lagranzhi, Gausi, Gelfonti, etj.) jaanë marë me çështje që e kanë te Diofanti dhe kanë krijuar teori me vlerë. Pas Diofantit nuk dolën matematikan të tjer të krahasueshëm me të nga potenca krijuese. Por një zjar aq I madhë si ai I kulturës matematike helene nuk mund të shuhej me një herë pa ndonjë flakërim të fundëm. Të tillë e konsiderojnë, pa asnjë mëdyshje, veprën e Papit të Aleksandrisë (shekulli I 3-të I erës sonë) Papi ishte përfaqësuesi më I shkëlqyer I një pleiade eruditësh që duke studiuar kryeveprat e të kaluarës e duke medituar për to u përpoqën të paraqitin të sistemuara e të komentuara në shkrimet e tyre rrezulltatet e gjetura nga paraardhësit. Edhe Papi komentoi ”Elementet” e Euklidit e “Mathematik Sintaksis” të Ptolemeut, por vepra më e rëndësishme e tij është “Përmbledhja Matematike” (Sinagoge) në 8 libra prej të cilave kanë humbur I pari e pjesërisht I dyti. Ajo mund te përqaset me një tekst mësimor gjeometrie që jep një material shumë të pasur e mjaft të azhurnuar për kohën në të cilën u hartua. Shum teorema aty parashtrohen të përmirësuara në krahasim me origjinalet e me vërtetime më të goditura, madje një pjesë e mirë e rezultateve të autorëve të lashtë njihen sot në atë trajtë që I patë dhënë Papi. Në “Përmbledhjen” e Papit gjejmë diçka që nuk ndeshet në veprat e tjera me karakter enciklopedik: Përpjekjen e suksesshme për të shtruar e për të zgjidhur problem të reja, pra për ta shtyrë më tej kërkimin gjeometrik. Ndër këto duhet të përmendim kreun për figurat izoperimetrike, ku gjenden pohimet që rrethi ka syprinë më të madhe se çdo shumëkëndësh I regullt me perimetër të njejt me perimetrin e tij, disa hulumtime të çështjeve që sot I takojn gjeometris projektive, studimin për syprinat e vëllimet ku jepen të vërtetuara dy teorema, që tani I quajn “Teorema të Guldinit” etj. Komentues të tjerë të shquar pas Papit kanë qenë Teoni nga Aleksandria (shek. I 4-tërt), vajza e tij Hypatija si edhe Prokli (shek. 5-të), e Eutoki (shek.6-të), të shkollës së athinës e cila e vazhdoi të egzistoj edhe ca kohë, pas shkatërimit të qendrës shkencore në Aleksandri. Veprat që lanë ata ishin regëtima të fundit të matematikës greke të lashtësis dhe pas tyre cikli madhështor disa shekullor I saj shkoi faltalisht me shpejtësi drejt mbylljes. Por ai mbeti perjëtësisht një prej faqeve më të ndritura të historis së matematikës.Gauss
Johann Carl Friedrich Gassu (30 prill 1777 — 23 shkurt 1855) ishte një matematikan gjerman dhe shkencëtar që ndihmoi dukshëm në shumë fusha, duke përfshirëteorinë e numrave, analizën, gjeometrinë diferenciale, gjeodezinë, magnetizmin, astronominë dhe optikën. Nganjëherë i njohur si “princi i matematikës”, Gausi pati një ndikim të shquar në shumë fusha të matematikës dhe shkencës dhe është rradhitur pranë Ojlerit, Njutonit dheArkimedit si një nga matematikanët më të mëdhenj të historisë.Në moshën shtatë vjeçare, Karl Fridrih Gauss ka filluar shkollën fillore dhe potenciali i tij u vu re pothuajsemenjëherë. Mësuesin tij, Buttner dhe asistenti i tij, Martin Bartels, ishin të habitur kur Gausi përmblodhi shumën 1-100 në cast nga diktimi se shuma ishte 50 palë të tjera të numrave ku çdo palë përmbledhje të 101. Në 1788 filloi edukimi i Gausit në gjimnaz me ndihmën e Buttner dhe Bartels. Pas marrjes së një burse nga Duka i Brunsëick-Ëolfenbuttel, Gausi hyru në Kolegjin Carolinum në 1792. Në akademi Gaussi ka zbuluar në mënyrë të pavarur ligjin Bode, teoremën binome dhe arithmetike-logjike, si dhe ligjin e reciprocitetit katror teoremën e numrit. Në 1795 Gausi u largua nga Brunsëick për të studiuar në Gottingen University. Mësuesi i Gausit ishte Kaestner. Miku i tij i vetëm në mesin e nxënësve ishte Farkas Boljait. Ata u takuan në 1799 dhe ndenjën me njëri-tjetrin për shumë vite. Gausi u kthye në Brunsëick, kur ai mori një diplomë në 1799. Pasi Duka kishte rënë dakort të vazhdonte ti jepte bursë Gausit, ai kërkoi që Gausi të paraqiste një dezertacion për doktoratën në Universitetin Helmstid. Me bursën e tij për ta mbështetur atë Gausi nuk kishte nevojë për të gjetur një punë. Ai botoi librin Disquisitiones Arithmeticae në verën e vitit 1801. Kanë qenë 7 seksione, por pjesën e fundit i është kushtuar vetëm teorisë së numrave.
Veprat
Ne 1801 Gausi boton Disquisitiones Arithmeticae. Eshte studimi i pare sistematik mbi teorine e numrave. Influenca e librit te Gausit qe e pamase, dhe deshmohet nga fakti qe shumica e librave mbi subjektin akoma ndjekin perqasjen e tij. Reference: “The Mathematics of Ciphers, Number Theory and RSA Cryptography”, S.C.Coutinho, Redaktoi: Valmir LAMAJ
Ekzistojnë shumë histori për këtë gjeni. Thuhet se dhuntitë e tij u shfaqën në moshën 3- vjeçare kur korrigjoi një gabim në veprime të të atit. Historia e famshme e Gausit thotë se në shkollën fillore ngaqë ishte sjellë keq idha si detyrë të mblidhte numrat nga 1 tek 100. Gausi e gjeti zgjidhjen menjëherë për habinë e mësuesit të tij Metoda e Gausit konsistontë në mbledhjen e numrave periferikë:1+100;2+99 etj.Formoheshin 50 çifte ku shuma e secilit çift ishte 101. Që këtej 50×101=5050. Sidoqoftë dyshohet për vërtetësinë e kësaj historie. Gjithashtu thuhet se Gausin e ndërprenë njëherë në zgjidhjen e një problem sepse gruaja e tij ishte duke vdekur. Ai ka thënë “Thuaji të presë një minutë, sa ta mbaroj”
Euler
Leonhard Paul Euler, (prononcimi në shqip: Leonard Paul Ojler), (15 Prill, 1707 Basel, Zvicër – 7 shtator, 1783 Saint Petersburg, Rusi), ishte matematikan dhe fizikan zviceran i cili kaloi pjesën më të madhe të jetës së tij në Rusi dhe Gjermani.Euler bëri zbulime të rëndësishme në fusha të ndryshme si Njehsimi diferencial dhe teoria e grafeve. Ai gjithashtu për herë të parë paraqiti pjesën më të madhe të terminologjisë dhe nocioneve moderne matematike, pjesërisht për analizën matematike, sikur është nocioni i funksionit matematik.[1] Gjithashtu është i njohur për punën e tij në mekanikë, optikë dhe astronomi.
Euler konsiderohet të jetë matematikani më i madh i shekullit të XVIII dhe një ndër më të mëdhenjtë i të gjitha kohërave. Gjithashtu është më frytdhënësi, përmbledhja e punimeve të e tij përfshinë 60–80 vëllime faqe çerekësh.[2] Deklarata e dhënë nga Pierre-Simon Laplace shpreh influencën që pati Euler në matematikë, ai thotë: “Lexojeni Eulerin, lexojeni Eulerin, ai është mësuesi i të gjithë neve.”[3]
Figura e tij u paraqit në gjashtë seri të bankënotës prej 10 Franga zvicerane si dhe në një numër të madh të pullave postare zvicerane, gjermane e ruse. Asteroidi 2002 Euler u emërua për nder të tij.
Euleri lindi në Basel i ati Paul Euler, ishte pastor, e ëma Marguerite Brucker, një bijë pastori. Ai kishte dy motra më të vogla Anna Maria dhe Maria Magdalena. Menjëherë pas lindjes së tij familja u transferua nga Baseli në Riehen, ku Euleri e kaloi pjesën më të madhe të fëmijërisë. Paul Euleri ishte mik i Johann Bernoullit i cili ishte ndër matematikanët më të shquar të asaj kohe në Evropë, ai ndikoi fuqishëm te Leonardi i ri. Euler me shkollimin formal e filloi në Basel ku shkoi të jetojë me gjyshen e tij për nga nëna. Kur kishte 13 vjet ai përfundoi Universitqtin e Baselit, dhe në vitin 1723, mori titullin M.Phil me disertacionin në të cilin shpreh krahasimin në mes filozofisë se Dekartit dhe Njutnit. Asokohe ai çdo të shtune në mbrëmje merrte leksione nga Johann Bernoulli, i cili kishte zbuluar një talent të pabesueshëm për matematikë te nxënësi i tij i ri.[4] Euleri atëherë studjonte për teologji, gjuhë greke, dhe gjuhë çifute sipas dëshirës së të atit për tu bërë pastor, por Bernoulli i tregoi të jatit Paul Eulerit se Leonhardi është i destinuar të bëhet matematikan i madh. Në vitin 1726, Euleri kompletoi punimin e tij të disertacionit për titullin Ph.D. ekuivalenti i sotshëm doktor i shkencave i titulluar De Sono në të cilin bëhet fjalë për shpejtësinë e zërit[5] dhe në vitin 1727, ai merr pjesë në konkursin e Akademisë franceze të shkencave, zgjidhja e Eulerit u vlerësua me çmimin e dytë, vendin e parë e siguroi Pierre Bouguer—i cili sot njihet si “babai i arkitekturës detare”. Këtë çmim të akademisë franceze pastaj Euleri gjatë karrierës së tij e fitoi 12 herë për zgjidhjet e tij të mrekullueshme.[6]
Kontributet në matematikë
Analiza matematikore
Euleri është i njohur në analizën matematike për implementimin e serive të pafundme potenciale dhe zbërthimin e funksioneve në seri të tilla. Ai e zbuloi serinë për funksionin eksponencial e
dhe zbërthimin në seri të pafundme të funksionit invers të tangjentit.
Përdorimi i tij i guximshëm (ku sipas standardeve moderne teknikisht jo korrekt) i serive potenciale mundësoi zgjedhjen e problemit të famshëm të Bazelit në vitin 1735:[12]
Interpretimi gjeometrik i formulës së Eulerit
Euleri filloi zbatimin e funcksioneve eksponenciale dhe logaritmeve në vëertetimet analitike. Ai zbuloi mënyrën e zbërthimit të funksioneve llogaritmike në seri potenciale dhe e dha përkufizimin e logaritmit të numrave real negativ por pastaj edhe të numrave kompleks, në këtë mënyrë e zgjëroi fushën e aplikimit të logaritmeve .[13] Ai poashtu e përkufizoi funksionin eksponencial për numrat kompleks, dhe zbuloi lidhjen e tyre me funksionet trigonometrike. Për ç’do numër real φ, funksioni eksponencial kompleks e plotëson barazimin
Ky barazim njihet si formula e Eulerit. Rast special i formulës së mësipërme është barazimi
i cli njihet si identiteti i Eulerit dhe vlerësohet si formula më e shquar në matematikë sipas Richard Feynman, sepse në të jepet lidhja në mes 5 konstantave të rëndësishme të matematikës 0′, 1, e , i dhe π dhe vetëm nga një herë përdoen shenjat e koncepteve të mbledhjes, shumëzimit, fuqizimit, dhe barazimit[14] Në vitin 1988, lexuesit e Mathematical Intelligencer e zgjoddhë atë “the Most Beautiful Mathematical Formula Ever”.[15](Formula më e bukur e matematikës) Në përgjithësi ndër pesë formulat më të bukura matematikore Euleri merr pjesë me tre prej tyre.[15]
Formula De Moivre është rrjedhim i drejtpërdrejtë i formulës së Eulerit.
Teoria e numrave
Interesi i Eulerit në teorinë e numrave mund të gjurmohet në ndikimin e Goldbachut, miku i tij në Akademinë e Shën Petersburgut dhe në veprat e Pierre de Fermat. Euleri zhvilloi disa nga idetë e Fermat, dhe disa nga supozimet e tij i rrëzoi poshtë.
Euleri provoi se shuma e numrave reciprok të thjeshtë është e pafundme. Me këtë, ai zbuloi lidhjen ndërmjet funksionit zeta të Riemannit dhe numrave të thjeshtë.
Euleri provoi identitetin e Njutonit dhe teoremën e vogël Fermat. Ai gjithashtu shpiku funksionin totient φ(n) i cili shpreh numrin e numrave të plotë pozitiv jo më të mëdhenj se numri i plotë n që janë relativisht të thjeshtë me n. Duke përdorur vetitë e këtij funksioni, ai e përgjithësoi Teoremën e vogël Fermat e njohur tani si teorema e Eulerit. Ai ka kontribuar dukshëm në teorinë e numrave të përsosur, e cila i ka inspiruar matematikanët qysh nga koha e Euklidit.
